假期里想着不能让b站收藏夹里的学习资源一直吃灰，于是又刷了一遍b站的收藏夹。碰巧就看到了自己之前收藏的一种积分方法，那么这篇文章就来搬运一下这种方法的计算流程。
表格法
事实上，这种方法说白了还是分部积分法，但使用起来却要方便好多。我们直接看例子：
求解$ \int \left ( x^{2}+x \right )e^{x}dx $。
- 画一个两行的表格。把多项式部分写在第一行，然后把剩余的部分写在第二行。
$ x^{2}+x\ $ $ e^{x}\ $ - 接下来，我们对第一行求导，直到导数为零为止。对第二行积分，直到与第一行的0对齐为止。
$ x^{2}+x\ $ $ 2x+1\ $ 2 0 $ e^{x}\ $ $ e^{x}\ $ $ e^{x}\ $ $ e^{x}\ $ - 第三步就是交叉相乘，在本题即为第一行第一列与第二行第二列相乘，第一行第二列与第二行第三列相乘，第一行第三列与第二行第四列相乘。要注意的是，这里的交叉相乘还需要带符号，依次为正负正负正…以此类推。最后，将相乘结果相加，整理即可得到最终的解。
注意：别忘了加上常数C。
下面再来看一个例子熟悉一下：
求解$ \int xsinxdx $。
画表格：
| $ x\ $ | $ 1\ $ | $ 0\ $ |
| $ sinx\ $ | $ -cosx\ $ | $ -sinx\ $ |
求解：
其实b站上还是有挺多这样的干货的，此生无悔入b站！
其它运算终止情况
看完上面的部分，细心的你肯定会想到以上的方法并不普适，仅仅适用于导数能求导至零及含有多项式因式的情况。因此，为了能更灵活地运用分部积分表格法，下面补充其它两种运算可以终止的情况。
第一行出现零元素
这就是上面所说的含多项式的情况，也一并列写在这里，方便总览归纳。某列函数的乘积（或它的常数倍）等于第一列
按照分部积分的一般做法，当出现之后的某一项恰好是原来积分或者是原来积分的常数倍时，计算进入循环。这时就可以把两者移到等式的同一侧，计算出结果，这在表格法的分部积分中也是类似的。
来看看例子：求解$ \int e^{3x}sin2xdx $。$ e^{3x}\ $ $ 3e^{3x}\ $ $ 9e^{3x}\ $ $ sin2x\ $ $ -\frac{cos2x}{2}\ $ $ -\frac{sin2x}{4}\ $
可见，第三列的乘积和第一列的乘积相差一个常数（这里是$ -\frac{9}{4} $），因此仿照之前的方法交叉相乘列出积分：移项化简可得：即为所求。
看完这种情况，你一定会敏锐地发现，其实分部积分表格法本质上和一般的分部积分法一模一样，不过的确在使用上还是有一定的优势的。某列的两个函数乘积（记为$ f(x) $）是一个容易计算的积分
这种情况下，先把之前的项用之前的方法类似列出，再在结果后加上不定积分$ (-1)^{k-1}\int f(x)dx $。
来看例子：求解$ \int x^{2}arctanxdx $。$ arctanx\ $ $ \frac{1}{1+x^{2}}\ $ $ x^{2}\ $ $ \frac{1}{3}x^{3}\ $
可得解：另外，当表中的第一行的某列出现多项之和，而再求导无法改变该函数或者该函数中某一项的属性，则终止表格，后再重新组合，另建表格求解。这种情况一般不会出现在题目中，如遇到再做补充。